2006年06月11日
直接的に求める？間接的に求める？
今回は、数学の確率と物理の意外な？共通点についてお話します。
〔問題〕----------------------------------------------------------------
袋の中に、親玉と悪玉という2種類の玉がそれぞれ4個ずつ入っています。
その中から３つの玉を取り出すとき、少なくとも１つ親玉が含まれる場合の数を求めよ。
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親玉ってどんな玉？、悪玉ってどんな玉？というのはみなさんのご想像におまかせします。
ちなみに、僕は問題を作ってから、いろいろとイメージを膨らませてしまいました。
でも、それは置いといて、ここで僕が言いたいのは、この問題を解く方法は2つあるということなんです。
1つ目の方法は、場合分けをして真正面から直接的に求めていく方法です。
（場合分け１）親玉が１個のとき
（場合分け２）親玉が２個のとき
（場合分け３）親玉が3個のとき
と３つに場合分けして、それぞれの場合を計算し、その後、足し合わせていく方法です。
3回も計算しなくてはいけないので、めんどくさそうです。
2つ目の方法は、問題で問われていない、「残り」を求めていく方法です。
ここでは、親玉が一つも含まれない場合を計算します。
なぜ、その方法で答が求まるかというと、合計8個の玉から3つの玉を取り出す全場合の数を、簡単に計算することができるからです。
全体を計算してから、親玉が含まれない場合を引き算すれば、答を得ることができます。
（親玉が少なくとも一つ含まれる場合）＝（全体）−（親玉なしの場合）
という計算です。こちらは、簡単そうですね。
全体についての情報が簡単に手に入る場合は、直接的に計算するだけでなく、全体から引き算して求めてく方法も取ることができます。
２つの計算方法のうち、簡単な方を選べばよいのです。
物理にも、同じような話があります。
仕事やエネルギーを求める場合は、必ず２つの計算方法があるのです。
どんな場合でも、全体については、エネルギー保存則が成り立っています。
ですから、直接的に仕事やエネルギーを計算する方法だけでなく、エネルギー保存則を使って、間接的に計算する方法が必ずあります。
必ずあるんですよ。
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ですから、２つの方法をちゃんと思い浮かべてから、簡単な方を選びましょう。
やみくもに一方を選んで突き進もうとすると痛い目にあいます。
